2.3.10 Musteraufgabe und Zeichnung

Im folgenden werden wir eine Funktion nach allen in Kapitel 2.3 behandelten Gesichtspunkten untersuchen, und den Graphen am Ende auch zu Zeichnen versuchen.

Die Kurvendiskussion

Die Funktion, die wir untersuchen wollen lautet:

f(x) = x3 + 7x2 + 14x + 8

Symmetrie des Graphen

Wir errechnen f(-x):

f(-x) = (-x)3 + 7(-x)2 + 14(-x) + 8 f(-x) = -x3 + 7x2 - 14x + 8 f(-x)  f(x) f(-x) -f(x)

Die Funktion besitzt demnach kein Symmetrieverhalten bezüglich der Y-Achse oder dem Ursprung.

Nullstellen

Es bleibt uns nichts andere übrig, als die erste Nullstelle zu erraten. Da diese ein Teiler des konstanten Glieds 8 sein muss, finden wir unsere erste Nullstellle bald bei x₁ = -4.

Jetzt teilen wir f(x) mittels Polynomdivision durch (x - x₁), also (x + 4). Wir erhalten als Ergebnis x² + 5x + 4 und können damit können wir den Zerlegungssatz auf f(x) anwenden:

f(x) = (x + 4) · (x2 + 3x + 2)

Da die übrige Funktion, x² + 3x + 2, eine quadratische Gleichung ist, können wir die übrigen Nullstellen schnell mit der quadratischen Lösungsformel errechnen. Schließlich haben wir alle Nullstellen gefunden:

• x₁ = -4
• x₂ = -2
• x₃ = -1

Da kein unzerlegbarer Faktor übrigbleibt, können wir nun die Funktion vollständig in ihre Linearfaktoren zerlegt schreiben:

f(x) = (x + 4) · (x + 2) · (x + 1)

Vorzeichenverlauf des Graphen

Um einen ungefähren Eindruck vom Verlauf des Graphens zu bekommen, streichen wir die Vorzeichenfelder ab:

Wir wissen nun, dass sich der Graph nicht in den ausgegrauten Feldern aufhalten kann.

Lokale Extremwerte

Zuerst bilden wir die erste und zweite Ableitung f'(x) und f''(x):

f'(x) = 3x2 + 14x + 14     f''(x) = 6x + 14

Wir setzen f'(x) = 0 und erhalten als Lösungen:

x4 =      –7 +       7         3          –1,45         x5 =      –7 –       7         3          –3,22

Um zu überprüfen, ob es sich bei x₄ und x₅ wirklich um Extremwerte handelt, und wenn ja, ob es Minima oder Maxima sind, setzen wir die Werte in f''(x) ein:

• f''(x₄) +5,29 < 0 Lokales Minimum bei x₄
• f''(x₅) -5,29 < 0 Lokales Maximum bei x₅

Wendepunkte und Terassenpunkte

Wir setzen f''(x) = 0 und erhalten als Lösung:

x6 = –      7     3

Da f''(x) = 6x + 14 eine lineare Funktion, also eine Gerade ist, hat f''(x) bei ihrer Nullstelle x₆ auch einen Vorzeichenwechsel. Es liegt also ein Wendepunkt bei x₆ vor.

Monotonie

Da f'(x) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist ihr Funktionswert für Stellen zwischen den beiden zuvor bei den Extremwerten errechneten Nullstellen (f'(x) = 0) negativ, sonst positiv. Es gilt also:

• f(x) ist monoton fallend für etwa x [-3,22;-1,45]
  
• f(x) ist monoton steigend für etwa x [-3,22;-1,45]

Verhalten im Unendlichen

Da x³ das höchstgradige Glied von f(x) ist, strebt die Funktion für x + gegen +, und für x - gegen -.

Die qualitative Zeichnung

Wie es sich bei den quadratischen Funktionen bereits angedeutet hat, lassen sich die Graphen höhergradige Polynome ohne die Hilfe von Computerprogrammen oder irrsinnig großen Wertetabellen kaum mehr wirklich exakt zeichnen. Stattdessen fertigt man ab jetzt nur noch qualitative Graphenzeichnungen an. Man untersucht die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, etc. und zeichnet mit diesen Angaben einen Graphen, der zwar nicht vollkommen exakt ist, dem tatsächlichen Funktionsgraphen aber sehr nahe kommt.

Vorgehensweise

Zuerst zeichnet man alle bekannten Eigenschaften der Funktion in ein Koordinatensystem, wenn möglich in das, indem man zuvor bereits die Vorzeichenfelder abgestrichen hat. Um die Y-Koordinaten der Extremwerte, Wendepunkte, etc. zu erhalten, setzt man sie einfach in f(x) ein.

Wenn man den Graphen genauer zeichnen möchte, kann man an manchen Stellen noch zusätzlich einzelne Funktionswerte ausrechnen (d.h. den X-Wert in die Funktion einsetzen) und in das Koordinatensystem einzeichnen. Besonders der Funktionswert bei x = 0 (der Y-Achsen-Abschnitt) ist schnell auszurechnen und bei der Zeichnung äußerst hilfreich. Schließlich haben wir genug Informationen, um den Graphen in das Koordinatensystem hineinskizzieren zu können:

Eine Aufgabe zu diesem Kapitel wartet auf ihre Lösung!

Nächstes Kapitel:
3. Gebrochenrationale Funktionen