2.3.7 Symmetrie des Graphen

Man unterscheidet zwischen geraden Funktionen, ungeraden Funktion und Funktionen ohne besondere Symmetrieeigenschaften bezüglich der Y-Achse oder dem Ursprung:

• Funktionen, deren Graph symmetrisch zur Y-Achse verläuft, nennt man gerade Funktionen. Bei geraden Funktionen gilt f(-x) = f(x). Polynome mit ausschließlich geradzahligen Exponenten von x (einschließlich null, also das konstante Glied) im Term sind immer gerade Funktionen.

• Funktionen, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, nennt man ungerade Funktionen. Bei ungeraden Funktionen gilt f(-x) = -f(x). Polynome mit ausschließlich ungeradzahligen Exponenten von x im Term sind immer ungerade Funktionen.

Man kann eine Funktion auf ihr Symmetrieverhalten untersuchen, indem man einfach f(-x) ausrechnet und vergleicht, ob das Ergebnis mit f(x) oder -f(x) übereinstimmt. Dabei muss für x auch -x gelten.

Beispiele

1. Wir untersuchen die Funktion f(x) = x⁴ + 3x² - 1 auf mögliches Symmetrieverhalten:

   f( x) = x4 + 3x2 - 1 f(-x) = (-x)4 + 3(-x)2 - 1 f(-x) = x4 + 3x2 - 1 f(-x) = f(x)

   Die Funktion ist demnach symmetrisch zur Y-Achse:

2. Wir untersuchen die Funktion g(x) = 45x³ - 8x auf mögliches Symmetrieverhalten:

   g( x) = 45x3 - 8x g(-x) = 45(-x)3 - 8(-x) g(-x) = -45x3 + 8x g(-x) = -g(x)

   Die Funktion ist demnach punktsymmetrisch zum Ursprung:

3. Wir untersuchen die Funktion h(x) = -9x⁴ + 2x³ + 120 auf mögliches Symmetrieverhalten:

   h( x) = -x4 + 2x3 + 1 h(-x) = -(-x)4 + 2(-x)3 + 1 h(-x) = -x4 - 2x3 + 1 h(-x)  h(x) h(-x) -h(x)

   Die Funktion besitzt also kein Symmetrieverhalten bezüglich der Y-Achse oder dem Ursprung:

Allgemeine Symmetrie

Eine Funktion kann natürlich nicht nur bezüglich der Y-Achse, bzw. des Ursprungs ein Symmetrieverhalten zeigen. Da man jede Funktion jedoch unmöglich auf Symmetrie bezüglich aller Punkte und Parallelen zur Y-Achse prüfen kann, weist man solch eine Symmetrie nur nach, wenn direkt danach gefragt ist, bzw. wenn der Graph "verdächtig" aussieht.

Achsensymmetrie allgemein

Eine Funktion f(x) ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich einer Parallele zur Y-Achse bei x = x₀, wenn man von x₀ um ein beliebiges Stück nach links gehen kann und an dieser Stelle den gleichen Funktionswert herausbekommt, als wäre man dieses Stück nach rechts gegangen:

Es muss also gelten:

f(x0 – a) = f(x0 + a)

Beispiel

Wir wollen feststellen, ob die Funktion f(x) = x² - 6x achsensymmetrisch bezüglich x₀ = 3 ist. Wir berechnen:

f(3 - a) = f(3 + a); (3-a)2 - 6(3-a) = (3+a)2 - 6(3+a); 9 + a2 - 6a - 18 + 6a = 9 + a2 + 6a - 18 - 6a; 0 = 0 die Gleichung ist erfüllt

Die Funktion f(x) ist also achsensymmetrisch bezüglich x₀ = 3.

Punksymmetrie allgemein

Eine Funktion f(x) ist punktsymmetrisch bezüglich einem Punkt P₀(x₀|y₀) wenn gilt:

f(x0+a) – y0 = y0 – f(x0–a)

Die obige Gleichung ist etwas schwer zu verstehen, ein Bild mag helfen:

Beispiel

Wir wollen feststellen, ob die Funktion f(x) = x²-x+2 punktsymmetrisch bezüglich P₀(1|2) ist. Wir berechnen:

f(1+a) - 2 = 2 - f(1-a); (1+a)2 - (1+a) + 2 = 2 - (1-a)2 - (1-a) + 2; 1 + 2a + a2 - 1 - a + 2 = 2 - (1 - 2a + a2) - 1 + a + 2; a2 + a -a2 + 3a die Gleichung ist nicht erfüllt!

Die Funktion f(x) ist also nicht punktsymmetrisch bezüglich P₀(1|2).

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

Nächstes Kapitel:
2.3.8 Zusammenfassung von 2.3.1 bis 2.3.7