3.4 Kürzen gebrochenrationaler Funktionen

Es kann durchaus vorkommen, dass Nullstellen der Zählerfunktion auch gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind, wie z.B. hier:

f(x) =      (x–2)·(x+1)     (x–2)·(x–3)·(x+1)

Die Funktion hätte eigentlich Nullstellen u.a. bei x = -1 und x = 2, da die Funktion aber für diese Werte nicht definiert ist (Definitionslücke bei beiden Werten!) können sich dort unmöglich Nullstellen befinden.

Können wir so eine Funktion kürzen? Ja, aber nur unter Beibehaltung des Definitionsbereichs:

f(x) =      (x–2)·(x+1)     (x–2)·(x–3)·(x+1)          f(x) =      1     x–3          = \ {–1, 2, 3}

Die ursprüngliche, ungekürzte Funktion verhält sich exakt so, wie die gekürzte Funktion, mit der Ausnahme, dass sie nicht nur bei x=3, sondern auch bei x=-1 und x=2 eine Definitionslücke aufweist:

Da die "zusätzlichen" Definitionslücken auf den Funktionsverlauf der gekürzten Funktion unmöglich Einfluss nehmen können, finden wir dort auch keine Unendlichkeitsstellen, sondern (bei einfachen Definitionslücken) stetig fortsetzbare "Löcher" im Graphen. In der Zeichnung markiert man solche Definitionslücken normalerweise mit einem kleinen, unausgefüllten Kringel auf dem Funktionsgraphen.

Mehrfache Definitionslücken

Ist die Definitionslücke bei x₀ mehrmals vorhanden, d.h. auch nach vollständigem Kürzen der Funktion ist ein Linearfaktor (x-x₀) im Nenner enthalten, so findet man bei x₀ natürlich nach wie vor eine Unendlichkeitsstelle und kein "Loch" im Graphen:

Definitionsbereich beachten!

Auf keinen Fall darf man vergessen, nach dem Kürzen den Definitionsbereich der Funktion zu beachten. Nehmen wir beispielsweise an, wir sollten die Nullstellen folgender Funktion berechnen:

f(x) =      (x–1)2     x–1

Wir kürzen den Bruch und erhalten:

f(x) = x – 1    = \ {1}

Auch wenn sich die Funktion genauso verhält, wie eine Funktion k(x) = x - 1, hat sie bei x = 1 keine Nullstelle, denn f(1) ist nicht definiert:

Die Funktion hat also keine Nullstellen!

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

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3.5 Ableitung gebrochenrationaler Funktionen