2.3.1 Nullstellen

Um die Nullstellen von Polynomen 1. und 2. Grades herauszufinden genügte es, die Funktionsgleichung nach x aufzulösen, evtl. mit Hilfe der quadratischen Lösungsformel. Bei einem höhergradigen Polynom gibt es keinen derart einfachen Weg mehr, um an dessen Nullstellen zu kommen. Deswegen behilft man sich mit dem sog. Zerlegungssatz.

Der Zerlegungssatz

Ist x₀ die Nullstelle eines Polynoms f(x)_n vom Grade n, erhält man ein Polynom vom Grade n - 1, in dem man f(x)_n durch (x - x₀) dividiert:

f(x)n = (x – x0)·f(x)n–1

Einen Faktor (x - x_k) nennt man Linearfaktor. Nullstellen von f(x)_n-1 sind ebenfalls Nullstellen von f(x)_n, und solange man weitere Nullstellen findet, lässt sich f(x)_n auch weiter umformen:

f(x)n = (x – x0)·f(x)n–1     f(x)n = (x – x0)·(x – x1)·f(x)n–2     f(x)n = (x – x0)·(x – x1)·(x – x2)·f(x)n–3     f(x)n = (x – x0)·(x – x1)·(x – x2)·(x – x3)·f(x)n–4

... und so weiter. Da der Grad der Funktionen f(x)_n-1 , f(x)_n-2, etc. immer geringer wird, lässt sich die nächste Nullstelle nach jeder Zerlegung immer einfacher errechnen.

Dabei muss man anmerken, dass die Nullstellen x₀, x₁,...,x_n nicht zwingend verschieden sein müssen. Wir werden später sogar feststellen, dass es gravierende Unterschiede im Funktionsverlauf geben kann, je nachdem wie oft eine Nullstelle auftaucht. Man zählt deshalb mit, wie oft eine bestimmten Nullstelle auftaucht und spricht dann von einer einfachen Nullstelle, zweifachen Nullstelle, etc.

Anwendung des Zerlegungssatzes

Das Problem ist, dass man zum Anwenden des Zerlegungssatzes überhaupt erst mal eine Nullstelle benötigt, und es außer für lineare und quadratische Gleichungen keinen einfachen Weg gibt, diese zu berechnen.

Tatsächlich ist die einzige Möglichkeit, die Nullstelle zu erraten. Das ist in der Praxis einfacher als es klingt, wenn man sich nur zwei Dinge einprägt:

1. Die Nullstelle muss ein Teiler des konstanten Glieds sein, z.b. 2 bei f(x) = 5x³ + x² - 13x + 6. Ist das konstante Glied 0, hat die Funktion natürlich auch eine Nullstelle am Ursprung.

2. Viele Funktionen haben eine Nullstelle bei 1 oder -1.

Hat man die erste Nullstelle bei x = x₀ gefunden, teilt man den Funktionsterm mittels Polynomdivision durch (x-x₀).

Beispiel zur Polynomdivision

Wir haben die Funktion gegeben: f(x) = x³ +75x² + 7x - 6. Durch Herumprobieren finden wir eine Nullstelle bei x = -2. Jetzt teilen wir f(x) durch (x+2):

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = ?

Wir nehmen das höchstgradige (erste) Glied des ersten Polynoms und dividieren es durch das höchstgradige Glied des zweiten Polynoms:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x²

Wir multiplizieren das Ergebnis mit dem zweiten Polynom und schreiben das Ergebnis unter das erste:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x²   x³ + 2x²

Jetzt ziehen wir dieses Produkt von dem entsprechenden Teil des ersten Polynoms ab:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x² -(x³ + 2x²) -----------        5x²

Wir "ziehen" das nächste Glied "herunter", wie wir es vom händischen Dividieren gewohnt sind:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x² -(x³ + 2x²) -----------        5x² + 7x

Jetzt dividieren wir wieder das höchstgradige Glied des Zwischenergebnisses durch das höchstgradige Glied des 2. Polynoms:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x² + 5x -(x³ + 2x²) -----------        5x² + 7x

So multiplizieren wir das Ergebnis wieder mit dem zweiten Polynom, ziehen es von dem Zwischenergebnis ab, ziehen das nächste Glied herunter, usw., bis am Ende das erste Polynom vollständig durch das zweite dividiert wurde:

(x³ + 7x² + 7x - 6) : (x + 2) = x² + 5x - 3 -(x³ + 2x²)                      =========== -----------        5x² + 7x      -(5x² + 10x)      ------------             -3x - 6           -(-3x - 6)           ----------                   0

Das Ergebnis, x² + 5x - 3, ist eine quadratische Gleichung, so dass wir die übrigen Nullstellen einfach mit der quadratischen Lösungsformel ausrechnen können. Wäre das Ergebnis ein Polynom von einem höheren Grade als 2, so müssten wir erneut eine Nullstelle erraten und dann eine Polynomdivision durchführen.

Der Nullstellensatz

Da ein Polynom n-ten Grades nur in maximal n lineare Faktoren (x - x_i) zerlegt werden kann, hat eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden.

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

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