3.8 Beschränktheit und globale Extremwerte

Eine Funktion f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn der Graph der Funktion auf ganz unterhalb eines oder gleich einem reellen Wert s bleibt:

f(x) S

Jeder Wert S, der diese Bedingung erfüllt, heißt obere Schranke der Funktion. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum der Funktion:

Analog heißt die Funktion nach unten beschränkt, wenn der Graph oberhalb eines oder gleich einem reellen Wert i bleibt:

f(x) s

Jeder Wert s, der diese Bedingung erfüllt, heißt untere Schranke der Funktion. Die größte untere Schranke heißt Infimum der Funktion:

Das Supremum, bzw. Infimum kann, muss aber nicht zur Wertemenge der Funktion gehören:

Wann ist eine Funktion beschränkt?

Es ist klar, dass eine nach oben beschränkte Funktion an keiner Stelle gegen + streben darf, wie es z.B. bei einer Unendlichkeitsstelle oder im Unendlichen der Fall sein kann:

Umgekehrt darf eine nach unten beschränkte Funktion an keiner Stelle gegen - streben:

Globale Extremwerte

Den niedrigsten Wert einer Funktion nennt man globales Minimum, den höchsten Wert einer Funktion globales Maximum. Jede Funktion kann nur ein globales Minimum und ein globales Maximum besitzen. Da es bei unbeschränkten Funktionen keinen Sinn machen würde, berechnet man das globale Maximum nur bei nach oben beschränkte Funktionen, und das globale Minimum nur bei nach unten beschränkte Funktionen.

Zur Berechnung von globalen Extremwerten vergleicht man einfach die Funktionswerte aller gefundenen Minimas und Maximas und wählt den jeweils niedrigsten, bzw. höchsten Wert.

Der Funktionswert des globalen Minimums gibt dabei die Höhe des Infimums, der Funktionswert des globalen Maximums das des Supremums an.

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Nächstes Kapitel:
3.9 Musteraufgabe und Zeichnung