6.1 Integration durch Stammfunktion

Wenn wir eine Funktion f(x) integrieren wollen, stellen wir uns f(x) als Ableitung einer Stammfunktion F(X) vor:

F'(x) = f(x)

Da konstante Glieder bei der Ableitung zu Null werden, hat eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion nennt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Hat man zu f(x) erst mal eine Stammfunktion F(x) gebildet, so lässt sich das Integral folgendermaßen berechnen:

b a   f(x) dx = [F(x)] b a   = F(b) – F(a)

An einem Zahlenbeispiel demonstriert:

5 1   x2 dx = [      x3     3      ] 5 1   =      53     3      –      13     3      =     41      1     3

Das "dx" bedeutet lediglich, dass nach x integriert wird. f(x) muss auf dem Intervall [a;b] stetig sein. Die Herausforderung beim Integrieren besteht normalerweise darin, eine Stammfunktion zu f(x) zu finden.

Zwei Grundintegrale rationaler Funktionen

Diese zwei Grundintegrale, zumindest das erste, muss man sich einfach einprägen. Eine nähere Betrachtung dieser Integrale ist hier nicht möglich:

1     x      dx = ln|x|              1     1 + x2      dx = arctan(x)

Die Graphen der Funktionen ln|x| und arctan(x) finden Sie hier. Ein Rechenbeispiel:

1     x + 5      dx = ln|x + 5|

Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

Die Stammfunktionen zu Polynomen sind mit folgenden drei Rechenregeln recht einfach zu finden:

1.     xn dx =      1     n+1      · xn+1     2.     C·f(x) dx = C·     f(x) dx     3.     (f(x) + g(x)) dx =     f(x) dx +     g(x) dx

Beispiele

1.     x5 dx =      1     5+1      · x5+1 dx =          1     6      x6         2.     2·x5 dx = 2·     x5 dx = 2 ·      1     5+1      · x5+1 dx =          1     3      x6         3.     (2·x5 – 5·x3 + 1) dx = 2·     x5 dx – 5·     x3 dx +     x0 dx =         =          1     3      x6 –      5     4      x4 + x

Stammfunktionen unecht gebrochenrationaler Funktionen

Unecht gebrochenrationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision in die Summe eines Polynoms und eines echt gebrochenen Restgliedes umwandeln. Diese Summe läßt sich dann einfach integrieren. Ein Rechenbeispiel:

x4     x + 2      dx =     (x3 – 2x2 + 4x – 8 +      16     x + 2      ) dx =     =          1     4      x4 –      2     3      x3 + 2x2 – 8x + 16·ln|x+2|

Man kann seine Ergebnisse immer leicht prüfen, indem man einfach die Ableitung F'(x) einer Stammfunktion bildet und vergleicht, ob sie mit f(x) identisch ist.

Stammfunktionen echt gebrochenrationaler Funktionen

Echt gebrochenrationale Funktionen lassen sich nur durch die sog. Partialbruchzerlegung integrieren. Dabei zerlegt man das Nennerpolynom mit Hilfe des Zerlegungssatzes so weit wie möglich in seine Linearfaktoren und stellt dann f(x) als Summe von Teilbrüchen dar. Eine allgemeine Behandlung der Partialbruchzerlegung ist zu kompliziert und umfangreich für diese Arbeit, deswegen sei hier nur ein anschauliches Beispiel gegeben:

9x – 2     x2 + 4x + 3      dx =          9x – 2     (x+1)(x+3)      =     (      A     x+1      +      B     x+3      ) dx =              Ax + 3A + Bx + B     (x+1)(x+3)      dx =          (A+B)x + (3A+B)     (x+1)(x+3)      dx     Nun können wir gleichsetzen:     (1)  A + B = 9     (2)  3A + B = –2     Wir lösen das Gleichungssystem auf und erhalten:         A = –5,5             B = 14,5         Nun können wir A und B in den zerlegten Bruch einsetzen:         (      A     x+1      +      B     x+3      ) dx =     (      –5,5     x+1      +      14,5     x+3      ) dx =     =     –5,5·ln|x+1| + 14,5·ln|x+3|

Das Prinzip der Partialbruchzerlegung erscheint anfangs etwas sonderbar, lässt sich aber mit nur wenig Übung leicht erlernen.

Ausblick

In diesem Kapitel konnte die Integralrechnung nur ansatzweise behandelt werden. Wer sich mehr für dieses Thema interessiert, sollte das Kapitel "Integration" in einer Formelsammlung oder einem älteren Mathematikbuch für den Leistungskurs Mathematik studieren. Dort werden dann auch andere Integrationsmethoden, Integrale mit offenen Grenzen (uneigentliche Integrale 1. Art) und mehr behandelt.

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

Nächstes Kapitel:
7. Das war's...