2.3.5 Lokale Extremwerte

Lokale Extremwerte (auch Lokale Extrema oder Relative Extremwerte genannt) sind die "Spitzen" oder "Ausläufer" eines Funktionsgraphens:

Man erkennt, daß die Tangente an einem lokalen Extrempunkt eine Waagrechte sein muß:

Für eine waagrechte Tangente ist die Steigung Null. Da die 1. Ableitung einer Funktion deren Steigung angibt, gilt als Vorraussetzung für einen lokalen Extremwert:

f'(x) = 0

Man kann jedoch aus der alleinigen Vorraussetzung f'(x) = 0 noch nicht auf einen Extremwert schließen, wie man bereits an der einfachen Funktion f(x) = x³ sehen kann:

Die zweite Vorraussetzung für ein Extremum an der Stelle x₀ ist demnach ein Vorzeichenwechsel von f'(x) bei x₀.

Der Vorzeichenwechsel von f'(x)

Ist der Vorzeichenwechsel von f'(x) nicht auf Anhieb oder aus Erfahrungswert ersichtlich, kann man die Methode des Felderabstreichens auf f'(x) anwenden. In der Praxis setzt man auch oft geringfügig abweichende Werte (wie z.B. ± 0,01) links und rechts der fragwürdigen Stelle x₀ in f'(x) ein und vergleicht die Vorzeichen der beiden errechneten Werte.

Es gilt schließlich für alle x₀, bei denen f'(x₀) = 0:

• Ändert sich das Vorzeichen von f'(x) bei x₀ von negativ zu positiv, so liegt
  ein Minimum vor.

• Ändert sich das Vorzeichen von f'(x) bei x₀ von positiv zu negativ, so liegt
  ein Maximum vor.

Warum dies so ist, wird aus dieser Zeichnung ersichtlich:

Bestimmung der Extremumart über f''(x)

Für jeden "potentiellen" Extremwert den Vorzeichenwechsel von f'(x) zu ermitteln ist sehr umständlich und meistens auch nicht notwendig, da wir ja wissen wie die Funktion bei den meisten Extremwerten gekrümmt sein muss:

Es gilt also für alle x₀, bei denen f'(x₀) = 0:

1. Ist f''(x₀) > 0, so liegt ein Minimum vor.
2. Ist f''(x₀) < 0, so liegt ein Maximum vor.
3. Ist f''(x₀) = 0, so kann entweder ein Minimum, ein Maximum oder gar kein Extremwert vorliegen. Man kann hiermit keine weitere Aussage machen und muss den Vorzeichenwechsel von f'(x) bei x₀ ermitteln.

Glücklicherweise tritt der 3. Fall nur äußerst selten auf, so dass man die Art des Extremwertes so gut wie immer über f''(x) ermitteln kann.

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

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