3.3 Vorzeichenverlauf des Graphens

Wir haben bereits die Methode des Felderabstreichens bei rationalen Funktionen kennengelernt, mit der wir den Vorzeichenverlauf des Graphens feststellen konnten.

Die gleiche Methode lässt sich fast unverändert auf gebrochenrationale Funktionen anwenden. Da sich bei gebrochenrationalen Funktionen das Vorzeichen des Graphens jedoch nicht nur an den Nullstellen, sondern auch an den Unendlichkeitsstellen ändern kann, müssen wir nicht die Zählerfunktion g(x), sondern auch die Nennerfunktion h(x) in ihre Linearfaktoren zerlegen und in unserer Tabelle aufführen.

Beispiel

Wir wollen die folgende Funktion auf ihren Vorzeichenverlauf hin untersuchen:

f(x) =      x2 – x – 6     x3 + 4x2 – x – 4

Zuerst berechnen wir die Nullstellen, indem wir die Zählerfunktion x² - x - 6 = 0 setzen. Wir erhalten als Lösungen:

• x₁ = -2
• x₂ = 3

Jetzt berechnen wir die Unendlichkeitsstellen, indem wir x³ + 4x² - x - 4 = 0 setzen. Wir erhalten als Lösungen:

• x₃ = -4
• x₄ = -1
• x₅ = 1

Wir können die Funktion f(x) nun in vollständig zerlegt darstellen:

f(x) =      (x+2)·(x–3)     (x+4)·(x+1)·(x–1)

Wir bekommen den Vorzeichenverlauf des Graphens, indem wir die Linearfaktoren von sowohl Zählerfunktion, als auch Nennerfunktion multiplizieren:

Eine Aufgabe zu diesem Kapitel wartet auf ihre Lösung!

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3.4 Kürzen gebrochenrationaler Funktionen